Mandelbrot, un franc-tireur des maths

Benoît Mandelbrot, le brillant mathématicien polono-franco-américain qui nous a quittés en 2010, avait un goût de poète pour le bizarre et la complexité. Son génie pour repérer des relations cachées entre des phénomènes très éloignés les uns des autres l’a conduit à fonder une nouvelle branche de la géométrie, qui a fait progresser notre compréhension des formes naturelles et du comportement humain. La clé de voûte de cette théorie est une idée à la fois simple et difficile à saisir : l’autosimilarité. Pour comprendre de quoi il retourne, considérons un objet bien connu : le chou-fleur. Prenez la tête de ce légume et regardez de plus près sa structure, la manière dont elle se divise en petits fleurons. Coupez l’un d’entre eux. À quoi ressemble-t-il ? Il ressemble à une petite tête de chou-fleur, composée à son tour de fleurons plus petits. Maintenant, cueillez l’un de ces mini-fleurons. À quoi cela ressemble-t-il ? À un chou-fleur encore plus minuscule. Si vous poursuivez ce processus (et vous aurez bientôt besoin d’une loupe), vous verrez que les fragments toujours plus petits ressemblent tous au légume dont nous sommes partis. C’est pourquoi l’on dit que le chou-fleur est « autosimilaire » : chacune de ses parties est un reflet de la totalité. Il existe d’autres formes autosimilaires, chacune ayant sa structure caractéristique : les nuages, les littoraux, la foudre, les amas de galaxies, le réseau formé par les vaisseaux sanguins dans notre corps et même, très probablement, les fluctuations des valeurs boursières. Plus vous zoomez sur un littoral, et plus son tracé paraît dentelé, et non lisse : chaque portion est à son tour composée de segments tout aussi irréguliers que l’on peut décrire en appliquant les méthodes mises au point par Mandelbrot. Du fait des aspérités qui les caractérisent, les structures autosimilaires sont rétives aux mathématiques classiques. Les méthodes de cette science, depuis les Grecs jusqu’au siècle dernier, ont toujours été mieux adaptées aux formes régulières, telles que le cercle. (Au passage, notez qu’un cercle n’est pas autosimilaire : si on le divise en arcs toujours plus petits, ces derniers se redressent au point de devenir presque droits.) Il faut attendre les dernières décennies pour voir apparaître une mathématique des surfaces irrégulières capable d’appréhender l’autosimilarité et les autres phénomènes qui lui sont apparentés, comme les turbulences, le bruit, la formation d’agrégats et le chaos. Mandelbrot fut le principal acteur de cette révolution. Il passa une bonne partie de sa carrière mouvementée au siège d’IBM, dans le nord de l’État de New York. Il devint célèbre à la fin des années 1970 en popularisant la notion d’autosimilarité et en inventant le mot « fractale » (du latin fractus, qui signifie « brisé ») pour désigner les formes relevant de cette catégorie. Il découvrit en 1980 l’ensemble qui porte son nom, une figure géométrique extrêmement complexe dont la forme évoque un bonhomme de neige boutonneux ou un scarabée. Elle devint l’emblème de la nouvelle science du chaos, dont la vogue commençait. Ce qu’on sait peut-être moins à propos de Mandelbrot, c’est qu’il fut aussi l’auteur de travaux subversifs en économie. Les modèles qu’il mit au point, fondés sur son concept de fractale, indiquaient que les marchés financiers et monétaires étaient bien moins fiables que ne le supposait le dogme en vigueur dans les écoles de commerce et les banques d’affaires, et que des retournements de tendance brutaux, tel le plongeon de 777 points du Dow Jones le 29 septembre 2008, sont inévitables. Ces aspects de la carrière de Mandelbrot m’étaient déjà familiers quand je lus son autobiographie, dont il finit d’écrire le premier jet peu avant sa mort, à l’âge de 85 ans. Je connaissais sa réputation de franc-tireur et de fauteur de troubles, qualificatifs qui, en dépit de ses années de collaboration avec IBM, semblent mérités. En revanche, j’étais loin de soupçonner le nombre incroyable des personnalités avec lesquelles il est entré en relation durant sa carrière. Voici quelques-uns seulement des noms qui affleurent au fil de son récit : Margaret Mead, Valéry Giscard d’Estaing, Claude Lévi-Strauss, Noam Chomsky, Robert Oppenheimer, Jean Piaget, Fernand Braudel, Claudio Abbado, Roman Jakobson, George Shultz, György Ligeti, Stephen Jay Gould, Philip Johnson, et l’impératrice du Japon. J’ignorais également que le comportement généralement imprévisible de Mandelbrot à IBM fut, au moins en partie, responsable de l’apparition de ce fléau de la vie moderne connectée : le mot de passe. Mais ce qui m’a le plus frappé, c’est l’originalité de son intuition. Mandelbrot s’est en effet distingué, de manière récurrente, en décelant de la simplicité et même de la beauté là où les autres ne voyaient qu’un désordre inextricable. Son secret ? Un certain penchant pour jouer avec les images, et un recours fréquent aux représentations visuelles : « Quand je cherche quelque chose, explique-t-il, je regarde encore et encore… » Mandelbrot est né en 1924 dans une famille juive du ghetto de Varsovie. Ses parents étaient loin des mathématiques : son père vendait des nippes et sa mère était dentiste. Douée d’une « main droite robuste et [de] biceps puissants », elle arrachait les dents avec dextérité. Son oncle Szolem, en revanche, était un mathématicien de renom international qui avait étudié à Paris et occupa une chaire au Collège de France. « Nul n’a davantage influé sur mon parcours scientifique que Szolem », nous dit Mandelbrot – bien que l’influence de cet oncle ait finalement pris une forme assez inattendue.   Un train aux portes cadenassées En relatant son enfance à Varsovie, Mandelbrot se rappelle nettement, par exemple, la désagréable odeur de fumier que dégageait un des patients de sa mère. Cet homme, ouvrier dans un abattoir, payait les soins qu’exigeait sa dentition gâtée en apportant de la viande fraîche. Le commerce du père périclita à cause de la crise, et la famille abandonna la Pologne pour s’installer à Paris, traversant l’Allemagne nazie à bord d’un train aux portes cadenassées. « Parmi les personnes que nous connaissions, nous sommes les seuls à être partis pour la France et à avoir survécu », se souvient Mandelbrot, ajoutant que bon nombre de leurs voisins du ghetto « avaient été retenus par leur précieuse porcelaine, ou faute de s’être résolus à vendre leur piano de concert Bösendorfer ». Le jeune Mandelbrot se plut beaucoup à Paris. Sa famille emménagea dans un appartement sans eau chaude dans le quartier alors très pauvre de Belleville, près des Buttes-Chaumont, mais le garçon s’élança avec passion à la découverte de toute la ville : le Louvre, le vieux musée des sciences de la rue Saint-Martin, le Quartier latin. Au lycée, Mandelbrot fut bientôt considéré comme un « crack ». Ce qui lui donnait une longueur d’avance sur ses condisciples, c’était sa capacité à « géométriser » un problème. Au lieu de brasser les formules comme ses camarades, il utilisait sa mémoire visuelle prodigieuse pour voir si telle équation complexe ne revêtait pas, de manière latente, une forme simple. Il raconte ainsi comment, lors d’un concours, il fut le seul élève à résoudre un problème particulièrement épineux. « Comment avez-vous fait ? » lui demanda, incrédule, son professeur, un certain M. Pons. « Aucun être humain ne peut résoudre cette triple intégrale dans le temps imparti ! » Mandelbrot lui expliqua qu’il s’était contenté de modifier les coordonnées indiquées dans l’énoncé du problème, de manière à faire apparaître son essence géométrique, celle d’une sphère. Sur quoi M. Pons le quitta en marmonnant : « Mais bien sûr, bien sûr, bien sûr… » Mandelbrot avait 14 ans quand la Seconde Guerre mondiale éclata. Après la prise de Paris, ses parents et lui cherchèrent refuge en zone libre. Juifs d’origine étrangère, ils y vécurent dans la peur constante d’une dénonciation et durent bientôt se séparer. Sous un faux nom et muni de faux papiers, Mandelbrot se présenta comme apprenti artisan dans un hameau misérable du Limousin (une nuance rurale s’ajouta alors à son parler, mélange de français correct et d’accent des faubourgs). Après avoir évité de peu une arrestation, il poursuivit son chemin jusqu’à Lyon. C’est là, sous le nez de Klaus Barbie, qu’il perfectionna ses talents de géomètre avec l’aide d’un professeur passionné qui enseignait dans un lycée de la ville. C’est aussi durant cette période qu’il conçut l’idée de ce qu’il appelle sa « quête képlérienne ». Trois siècles plus tôt, Johannes Kepler avait rendu compte du mouvement apparemment erratique des planètes au moyen d’une unique intuition géométrique, supposant que leur orbite, au lieu d’être circulaire comme on le croyait depuis l’Antiquité, était de forme elliptique. Adolescent, Mandelbrot « se mit à vénérer » Kepler pour son exploit ; il rêva d’accomplir quelque chose de semblable, et d’imposer l’ordre à un domaine de recherche naissant par un audacieux coup de génie géométrique.   La secte Bourbaki C’est dans le Paris d’après guerre que Mandelbrot commença à travailler avec constance pour parvenir à ses fins. Son oncle Szolem l’exhorta à intégrer l’École normale, l’établissement français d’enseignement supérieur le plus sélectif. Mandelbrot y fut admis à l’âge de 20 ans, exploit qu’une vingtaine seulement d’étudiants français ont égalé. Mais il fut rebuté par le style aride et abstrait des mathématiques qu’on y pratiquait. À cette époque, le département de mathématiques de l’École (« dite normale, prétendue supérieure », selon l’adage) était dominé par un groupe semi-clandestin du nom de Bourbaki. (Le nom de Bourbaki était emprunté, par jeu, à un général français malchanceux du XIXe siècle qui, voulant se tirer une balle dans le crâne, avait manqué son coup.) Le chef de file était André Weil, l’un des meilleurs mathématiciens du XXe siècle, et le frère de Simone Weil. L’objectif de Bourbaki était d’épurer les mathématiques en les établissant sur des fondations purement logiques, exemptes de toute souillure issue d’intuitions physiques ou géométriques. Mandelbrot trouva la secte Bourbaki, et Weil en particulier, « positivement repoussants ». À ses yeux, les bourbakistes coupaient les mathématiques des autres sciences naturelles et en faisaient une sorte de théologie logique. La géométrie, ingrédient si essentiel du rêve képlérien de Mandelbrot, était pour eux une branche morte des mathématiques, tout juste bonne pour les enfants. C’est ainsi que Mandelbrot, deux jours après avoir intégré l’École normale, remit sa démission. La décision scandalisa son oncle, mais cela ne fit qu’affermir sa résolution. Alors que Szolem était un « conformiste prudent qui s’était hâté de rejoindre le groupe Bourbaki, destiné à prendre de l’importance », lui se considérait (avec, reconnaît-il, un soupçon de mégalomanie) comme un « dissident » destiné à renverser cette orthodoxie. Avançant à tâtons vers son objectif, Mandelbrot intégra une autre grande école française, Polytechnique, puis se rendit aux États-Unis, à Caltech, pour y effectuer un cursus en aéronautique qu’il ne mena pas à son terme. De retour en France, il fut enrôlé dans l’armée (1). Après un passage quelque peu comique au sein de l’aviation (période durant laquelle il semble avoir employé l’essentiel de son temps à satisfaire sa nouvelle passion pour la musique classique, en écumant les concerts parisiens), il entama une carrière de thésard « plus tout à fait jeune » à l’université de Paris, qui était alors « à un point bas de sa longue et souvent glorieuse histoire ». C’est en cherchant un sujet de thèse que le jeune savant entrevit sa première lueur képlérienne. Un jour, son oncle Szolem (dans l’esprit duquel Mandelbrot était perdu pour les mathématiques) tira avec dédain d’une corbeille à papier et tendit à son neveu un article traitant d’une certaine « loi de Zipf ». Fruit des travaux d’un linguiste excentrique de Harvard nommé George Kingsley Zipf, cette loi porte sur la fréquence d’apparition de différents mots dans les textes écrits (articles de journaux, livres, etc.). Le mot qui apparaît le plus souvent à l’écrit en anglais est « the », suivi de « of » et de « and ». Zipf classa tous les mots dans cet ordre, puis reporta leur fréquence respective sur l’axe vertical. La courbe qui en résulta avait une allure étrange. Au lieu de baisser régulièrement du mot le plus commun au moins usité, comme on aurait pu s’y attendre, elle commençait par plonger rapidement, puis se stabilisait en prenant la forme d’une longue pente à faible déclivité, un peu comme une rampe de saut à ski. Cette structure traduit une inégalité extrême : quelques centaines de mots en tête de classement font presque tout le travail, tandis que la grande majorité végète à l’abandon. (Loin d’être exagéré, le constat de Zipf minimisait ce phénomène d’inégalité linguistique : l’une des principales sources de son étude était en effet Ulysse, de James Joyce, roman où les termes ésotériques abondent.) La « loi » que Zipf formula établissait une relation numérique à la fois simple et précise entre le rang occupé par un mot et sa fréquence d’usage.   Un moment d’illumination Cette loi, dont on a montré qu’elle est vraie dans toute langue, peut sembler triviale. Mais il se trouve que les mêmes principes de base sont valides pour une grande variété de phénomènes : la taille des îles, la population des villes, mais aussi le temps passé par un livre sur une liste de meilleures ventes, le nombre de liens conduisant à un site Internet et (comme l’avait découvert l’économiste italien Vilfredo Pareto dans les années 1890) la répartition des revenus et de la richesse au sein d’un pays. Autant d’exemples de « distribution d’une loi de puissance (2) ». Les lois de puissance s’appliquent, dans la nature et dans la société, partout où règne une inégalité ou une irrégularité extrême : là où un pic élevé (correspondant à une poignée de très grandes villes, de mots très fréquemment utilisés ou de personnes extrêmement riches) est prolongé par une « longue traîne » aplatie (correspondant à une multitude de petites localités, de mots rares ou d’esclaves du salariat). Dans de telles configurations, la notion de « moyenne » n’a aucun sens. Mandelbrot assimila les principes de la loi de Zipf dans le métro, en rentrant de chez son oncle. « Durant l’un des très rares moments d’illumination de ma vie, raconte-t-il, je compris que tout cela était peut-être profondément lié à la théorie de l’information, et donc à la thermodynamique statistique, et je restai rivé aux distributions de lois de puissance pour le restant de mes jours. » Il consacra donc sa thèse de doctorat à la loi de Zipf. Ni son oncle Szolem ni son jury de soutenance (présidé par le prince Louis de Broglie, l’un des fondateurs de la mécanique quantique) ne firent grand cas de ses efforts pour montrer l’importance des lois de puissance. Longtemps Mandelbrot fut le seul mathématicien à prendre au sérieux ces courbes et leurs longues traînes. Raison pour laquelle, quand leur importance fut finalement reconnue un demi-siècle plus tard, il fut surnommé le « père des longues traînes ». S’étant lancé, avec cette thèse à contre-courant, dans une carrière de scientifique solitaire, Mandelbrot se mit à la recherche d’autres mathématiciens partageant sa passion de l’innovation. L’un d’entre eux fut Norbert Wiener, celui qui créa et donna son nom à la « cybernétique », science qui étudie des systèmes plus ou moins complexes (cela va du standard téléphonique au cerveau humain) régis par des boucles de rétroaction (feedback). Un autre était John von Neumann, le fondateur de la théorie des jeux (parmi bien d’autres choses). Aux yeux de Mandelbrot, ces deux hommes étaient « de l’essence dont on fait les rêves ». Il effectua des recherches postdoctorales sous leur direction, d’abord auprès de Wiener au MIT, puis avec von Neumann à l’Institute for Advanced Study de Princeton, où il lui arriva une aventure cauchemardesque. Alors qu’il donnait une conférence sur les liens profonds entre la physique et la linguistique, il vit les personnalités scientifiques présentes dans l’assistance s’assoupir les unes après les autres et se mettre à ronfler. Quand il eut fini, le célèbre historien des mathématiques Otto Neugebauer réveilla brusquement les dormeurs en s’écriant : « Je m’insurge ! C’est la pire conférence que j’aie jamais entendue ! » Mandelbrot était paralysé par la peur, mais il fut heureusement secouru par un duo de choc : Robert Oppenheimer, le premier, résuma impeccablement les grandes lignes de la conférence en se livrant à une de ses légendaires mises au point ; von Neumann, également réputé pour ses interventions, abonda dans le même sens. Le public fut ravi et la rencontre se termina sur un triomphe. De retour en Europe et marié depuis peu, Mandelbrot passa deux années très heureuses à Genève avec son épouse. Le psychologue suisse Jean Piaget, fasciné par ses travaux en linguistique, tenta de recruter le mathématicien pour en faire son collaborateur. Mandelbrot déclina cette proposition, malgré le respect (nuancé) que lui inspirait le grand homme : « Même si Piaget pouvait à l’occasion manquer de clarté et se tromper, ce n’était pas un charlatan… » Fernand Braudel l’incita à fonder un centre de recherches à Paris près du jardin du Luxembourg, pour promouvoir l’histoire quantitative dont l’école des Annales faisait alors la promotion. Mais Mandelbrot se sentait encore à l’étroit au sein de l’establishment mathématique français, qu’il considérait comme excessivement puriste. « Je ne voyais aucune compatibilité entre un poste universitaire en France et la folle ambition qui continuait de me dévorer », écrit-il. C’est pourquoi, électrisé par le retour aux affaires de Charles de Gaulle en 1958 (personnage auquel Mandelbrot semble avoir témoigné une haine particulièrement vive), il accepta l’offre d’un job d’été à IBM, à Yorktown Heights, au nord de New York. C’est là que le scientifique se sentit enfin chez lui.   Le père du mot de passe informatique On peut se demander comment IBM, une grande entreprise aux tendances légèrement bureaucratiques, a pu servir de terrain de jeu à un homme qui était de son propre aveu un franc-tireur. Et pourtant, la fin des années 1950 marqua le début d’un âge d’or pour la recherche fondamentale à IBM. « Nous pouvons facilement nous permettre de financer une poignée de grands scientifiques poursuivant les projets qui leur tiennent à cœur », expliqua le directeur de la recherche à Mandelbrot lors de son arrivée. Mieux encore, il pouvait utiliser les ordinateurs d’IBM pour produire des diagrammes géométriques. À l’époque, la programmation était une activité pénible impliquant le transport par wagons de cartes perforées d’un bâtiment à l’autre. Quand le professeur de lycée de son fils lui demanda de l’aider à mettre sur pied un cours d’initiation à l’informatique, Mandelbrot accepta, mais finit par apprendre que dans tout le comté de Westchesterk des lycéens utilisaient les ordinateurs d’IBM en empruntant son nom. « À ce stade, l’administration du centre informatique n’eut d’autre choix que d’assigner un mot de passe à ses employés, raconte-t-il. Je peux donc me vanter, si le terme convient, d’être à l’origine de l’intrusion policière que constitua cette innovation. » C’est une nouvelle fois le hasard qui amena Mandelbrot à réaliser la découverte suivante. En visite à Harvard pour y donner une conférence sur les lois de puissance et la répartition des richesses, il tomba en arrêt devant un graphe accroché au tableau dans le bureau d’un professeur d’économie. Ce diagramme avait une forme presque identique à celui qu’il s’apprêtait à présenter dans son allocution ; pourtant, il ne décrivait pas la répartition des richesses mais les fluctuations du New York Cotton Exchange. Pourquoi la succession des hausses et des baisses dans le marché du coton ressemblait-elle de manière si frappante à la répartition inégale des richesses dans la société ? Cela cadrait mal avec la conception orthodoxe des marchés financiers, proposée à l’origine en 1900 par le mathématicien français Louis Bachelier (qui l’avait lui-même calquée sur la description physique d’un gaz en équilibre). D’après le modèle de Bachelier, la fluctuation des prix sur un marché d’actions ou de marchandises est normalement progressive et de faible amplitude ; rangées par ordre d’importance de la plus forte baisse à la plus forte hausse, ces variations dessineraient naturellement une courbe en cloche classique. C’est la base de ce qu’on a ensuite appelé l’« hypothèse d’efficience du marché financier ». Mais Mandelbrot, à son retour chez IBM, passa en revue à l’aide de ses ordinateurs un siècle de données du New York Cotton Exchange et son examen révéla une structure nettement plus volatile, dominée par un petit nombre de retournements de tendance extrêmes. Tout se passait comme si une loi de puissance était à l’œuvre. En outre, les marchés financiers présentaient à peu près les mêmes fluctuations quelle que soit l’échelle de temps. En considérant la courbe des prix sur un an, puis sur un mois, puis sur une journée, son aspect accidenté ne changeait pas. Autrement dit, l’évolution des prix était autosimilaire, comme les choux-fleurs. « Au fond, la finance est de nature fractale », conclut Mandelbrot. La conception fractale des marchés financiers qu’élabora ensuite le mathématicien n’a jamais eu beaucoup de succès auprès des professeurs de finance, dont la plupart sont restés fidèles à l’hypothèse d’efficience du marché. Or, si l’analyse de Mandelbrot est correcte, il est risqué de placer sa confiance dans les modèles orthodoxes. Cela s’est d’ailleurs vérifié à plus d’une occasion. À l’été 1998, par exemple, Long-Term Capital Management, un hedge fund codirigé par deux économistes ayant reçu le prix Nobel pour leurs travaux sur les portefeuilles boursiers (3), et géré par vingt-cinq docteurs en économie, provoqua un krach et manqua de renverser le système bancaire international : une crise financière inopinée, venue de Russie, avait déjoué les prévisions de ses modèles. Mandelbrot fut blessé de se voir « exclu du courant dominant de l’économie ». Il raconte, avec une certaine amertume, comment un poste au département d’économie de l’université de Chicago, bastion de la théorie orthodoxe sur l’efficience du marché, lui fut d’abord offert, puis refusé sur décision de son doyen George Shultz, futur secrétaire d’État de Ronald Reagan. Harvard aussi refusa d’offrir un poste permanent à Mandelbrot, alors qu’il y était professeur invité, après s’être dans un premier temps montrée intéressée. Le chercheur ne se laissa pas abattre par ces marques de mépris. En revenant à IBM, il éprouva « le sentiment réconfortant de rentrer à la maison, et de retrouver les joies d’une collégialité à l’ancienne, au sein d’une communauté bien plus ouverte, et “académique”, qu’Harvard ». Mandelbrot garda de fait ses quartiers à IBM jusqu’en 1987, année où l’entreprise décida de mettre fin à ses programmes de recherche fondamentale. On lui proposa alors un poste à Yale, où il finit par décrocher une chaire en 1999, à l’âge de 75 ans. « Juste à temps », plaisante-t-il. C’est à Harvard, en 1980, que Mandelbrot fit la découverte la plus importante de sa carrière. Par l’entremise de son ami Stephen Jay Gould (un autre champion de l’idée de discontinuité), Mandelbrot fut invité à donner un cours pour montrer comment les idées relatives aux fractales peuvent jeter un jour nouveau sur les mathématiques classiques. Cela l’entraîna à prendre pour objet la « dynamique complexe », une approche abstraite de la théorie du chaos. La dynamique complexe avait pris son essor dans les cercles mathématiques parisiens du début du XXe siècle, mais donna bientôt naissance à des formes géométriques beaucoup trop compliquées pour être visualisées, et le champ de recherche fut abandonné. Mandelbrot vit qu’il était possible de rendre vie à la dynamique complexe en exploitant la puissance de calcul de l’ordinateur. À l’époque, les mathématiciens n’avaient que dédain pour ces machines, et « frissonnaient à la seule idée qu’une machine pût souiller la “pureté” parfaite de leur discipline ». Mais Mandelbrot, qui n’était pas puriste pour un sou, se procura un VAX supermini flambant neuf dans le sous-sol du centre scientifique de Harvard (4). Utilisant les capacités graphiques de la machine comme une sorte de microscope, il se lança dans l’étude d’une figure géométrique générée à partir d’une formule très simple (la seule, d’ailleurs, qu’il se soit permis de mentionner dans son autobiographie). Ce qu’il découvrit, à mesure que l’ordinateur livrait des images toujours plus détaillées de cette figure, était tout à fait inattendu : un monde féerique peuplé de formes arrondies ressemblant à des scarabées, entourées d’explosions de boutons, de boucles, d’ornements, d’hippocampes stylisés et de créatures évoquant des dragons, tous ces éléments étant reliés entre eux par un lâche écheveau de filaments. Il pensa d’abord que les figures exubérantes qu’il voyait résultaient d’un dysfonctionnement. Mais plus l’ordinateur zoomait, plus la structure se révélait précise (et fantastique). Mieux, on pouvait voir qu’elle contenait un nombre infini de copies d’elle-même, à des échelles toujours plus réduites, chacune étant nimbée de ses propres ornements rococo. C’est ce que l’on devait appeler l’« ensemble de Mandelbrot ». Mandelbrot dit avec raison de l’ensemble qui porte son nom qu’il s’agit d’un objet d’une « beauté infinie ». Sa géométrie détaillée, qu’on est encore loin de comprendre entièrement, renferme en puissance un bestiaire sans fin de processus chaotiques. Comment un objet d’une telle complexité (le plus complexe, comme on l’a prétendu, de toutes les mathématiques) peut-il émerger d’une formule aussi simple ? Pour le physicien et mathématicien sir Roger Penrose, cette richesse anarchique est un exemple frappant de la réalité éternelle dont jouissent, à l’image des formes platoniciennes, les objets mathématiques. « L’ensemble de Mandelbrot n’est pas une invention de l’esprit humain : c’est une découverte, écrit-il. Comme le mont Everest, l’ensemble de Mandelbrot est tout simplement là ! » La Forme d’une vie n’est pas une autobiographie fluide ; on peut même dire qu’elle présente une irrégularité toute fractale. Nul doute que le style en aurait été plus soigné si l’auteur avait vécu plus longtemps : sa passion pour réviser et apporter de petites corrections à des brouillons, confie-t-il, approchait celle de Balzac. Le lecteur rencontre par endroits des formules hautaines (« Je passe les bornes de l’arrogance lorsque je proclame… ») et d’estime de soi meurtrie (« Je ne recherche pas le pouvoir, ni ne me presse pour demander des faveurs… L’université jugea que je ne lui convenais pas »). L’auteur se donne peu de mal pour expliquer au lecteur profane ses innovations mathématiques, telle son utilisation des dimensions pour mesurer l’irrégularité d’une fractale. (Le littoral britannique, par exemple, est tellement sinueux qu’il a une dimension fractale de 1,25 ; il tombe donc quelque part entre une courbe lisse, qui a une dimension de 1, et une surface lisse, dont la dimension est 2.) On peut excuser Mandelbrot de ne pas être entré dans ces détails en rédigeant son livre. Le ton du mémorialiste est plus philosophique. Le monde où nous vivons, écrit-il, est une « mer infinie de complexité ». Et pourtant, il contient deux « îlots de simplicité ». Le premier est la simplicité euclidienne des formes régulières, découverte par les Anciens. Le second, la simplicité fractale des formes irrégulières autosimilaires, fut pour une large part la découverte de Mandelbrot lui-même. Son intuition géométrique lui a permis de mettre au jour une nouvelle essence platonicienne, à laquelle participe un ensemble hétéroclite d’objets particuliers, allant de l’humble chou-fleur au sublime ensemble auquel le savant a donné son nom. Le plaisir qu’il prenait à la rugosité, aux cassures et à la complexité de formes autrefois jugées « monstrueuses » ou « pathologiques » par ses confrères a un parfum tout à fait moderne. De fait, avec leurs structures intriquées qui reviennent sans fin à des échelles toujours plus réduites, les fractales de Mandelbrot font songer à la définition que Baudelaire donnait de la beauté : « C’est l’infini dans le fini (5). »   Cet article est paru dans la New York Review of Books le 23 mai 2013. Il a été traduit par Arnaud Gancel.

Notes

1| Les polytechniciens ont, durant leur scolarité, le statut d’officier et doivent suivre une formation militaire.

2| Le terme de puissance ne renvoie pas ici à des notions politiques ou mécaniques, mais à l’exposant mathématique qui détermine la forme prise par une distribution particulière [note de Jim Holt, l’auteur de l’article].

3| Il s’agit de Myron S. Scholes et de Robert C. Merton.

4| De la taille d’une petite armoire, le VAX « supermini », ou VAX 11/780, lancé en 1977 par Digital Equipment, était un ordinateur relativement compact pour l’époque. Son processeur avait une fréquence de 5 MHz, et il pouvait stocker jusqu’à 8 MB de mémoire.

5| La formule, qui apparaît dans le Salon de 1859, décrit en fait le style de Delacroix.