La conjecture de Poincaré
Publié dans le magazine Books n° 17, novembre 2010. Par John Allen Paulos.
Comment Grigori Perelman a élucidé l’un des problèmes les plus épineux de l’histoire des mathématiques.
Qu’est-ce que la conjecture de Poincaré ? Pour en faciliter la compréhension, il faut donner quelques principes de topologie.
Cette branche de la géométrie traite des propriétés élémentaires des figures géométriques, invariables lorsqu’on les étire ou les rétrécit, les déforme, les tord ou les dégonfle, du moment qu’elles ne sont ni déchirées ni perforées. La taille et la forme ne sont pas des propriétés topologiques ; des figures en forme de melon, de dé, ou de batte de base-ball sont considérées comme homéomorphes, c’est-à-dire topologiquement équivalentes, puisqu’elles peuvent être contractées, étendues ou se transformer l’une en l’autre, sans déchirure ni perforation. Qu’une courbe fermée dans l’espace puisse avoir un nœud ou non constitue cependant une propriété topologique de la courbe. Qu’une courbe fermée qui ne se coupe pas elle-même dans un plan, quelles que soient ses contorsions, divise le plan en deux parties – intérieur et extérieur – est une propriété topologique de la courbe. Le nombre ...
