Euler ou le sens de la formule

En géométrie, il y a les droites d’Euler, le cercle d’Euler et les angles d’Euler ; en analyse, les nombres d’Euler, la méthode d’Euler pour les équations différentielles et la constante d’Euler-­Mascheroni ; en topologie, la caractéristique d’Euler-Poincaré, issue du théorème de Descartes-Euler ; en théorie des nombres, l’indicatrice d’Euler ; dans le calcul des variations, l’équation d’Euler-­Lagrange ; en dynamique des fluides, les équations d’Euler. Au total, plusieurs dizaines d’objets, de formules, d’équations et de théorèmes, dans toutes les branches des mathématiques, portent le nom d’Euler, à qui on doit aussi un grand nombre de symboles couramment utilisés aujourd’hui, qu’il a introduits ou contribué à faire adopter : e pour la base des logarithmes naturels, i pour la racine carrée de -1, π pour le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre, ∑ pour la somme, f(x) pour une fonction de x, Δ pour les différences finies, les notations sin, cos et sec pour les fonctions sinus, cosinus et sécante, et même les notations ABC et abc pour désigner, respectivement, les angles d’un triangle et les côtés qui leur sont opposés. Deux formules d’Euler sont célèbres : S – A + F = 2, énonçant que le nombre de sommets d’un polyèdre moins le nombre d’arêtes plus le nombre de faces est égal à 2 (on sait aujourd’hui qu’elle ne vaut que pour la classe des polyèdres dits convexes) ; et surtout l’identité d’Euler (e^iπ + 1 = 0), souvent citée comme la plus belle des formules mathématiques. Comme le fait justement remarquer Paul Nahin, il ne s’agit en toute rigueur ni d’une équation ni d’une identité, puisqu’elle ne comporte aucune variable (1). Application de la « formule d’Euler » e^ix =­ cos(x) + i sin(x) dans le cas particulier où x est égal à π, elle lie d’une manière étonnante trois constantes fondamentales (e, π et i) et deux nombres tout aussi remarquables, 1 et 0. Pour cette raison, et parce qu’elle met en évidence des liens insoupçonnés entre l’algèbre, l’arithmétique, la géométrie, la trigonométrie et l’analyse, cette formule a souvent été un peu rapidement parée de qualités mystérieuses. Pour le vulgarisateur des mathématiques Keith Devlin, par exemple, elle « touche aux profondeurs de l’existence ». Leonhard Euler est à placer aux ­côtés d’Archimède, Euclide, Newton et Gauss. Comme ce dernier, il est pourtant aussi peu connu en dehors du monde des mathématiques qu’admiré à l’intérieur de celui-ci. Il a effectué la totalité de sa carrière dans deux académies des Sciences, celle de Saint-Pétersbourg, créée par Pierre le Grand dans son effort pour moderniser la Russie, et celle de Berlin. Le roi de Prusse Frédéric II et l’impératrice de Russie Catherine II ont été ses patrons. Mais, dans les biographies de ces deux souverains, le nom d’Euler n’apparaît que rarement. La plupart des anecdotes rapportées à son sujet proviennent des éloges publiés peu après sa mort en 1783 par Nicolas Fuss, son élève puis collaborateur, et par le marquis de Condorcet, l’un de ses contemporains qui connaissaient le mieux son œuvre. Euler, dit-on, connaissait l’Énéide par cœur et pouvait indiquer le premier et le dernier mot de chaque page de l’épopée de Virgile dans l’édition où il l’avait lue dans sa jeunesse. Une nuit où il était en proie à l’insomnie, il s’occupa l’esprit en calculant toutes les puissances, du carré à la sixième, des nombres jusqu’à 20 (selon Fuss) voire 100 (d’après Condorcet). En 1738, à l’âge de 31 ans, il perdit l’usage de son œil droit à la suite d’une infection. Dans les années qui suivirent, la vue de son œil gauche, atteint de cataracte, se dété­riora progressivement. Les complications d’une intervention chirurgicale effectuée en 1771 le plongèrent pour le reste de sa vie dans une obscurité presque totale. Or cette quasi-cécité n’eut aucun effet sur sa productivité torrentielle, qui au contraire s’accrut. Aidé par des collaborateurs qui transcrivaient ses propos et réalisaient certains calculs, Euler publia davantage au cours de ses dernières années, et certains travaux de cette époque comptent au nombre des plus remarquables. Entamée en 1911, la publication de ses œuvres complètes est sur le point de s’achever. Dans son état actuel, elle comprend, rassemblés en plus de 80 volumes, 866 articles, mémoires et livres ainsi que plusieurs centaines de lettres souvent très longues : comme tous les savants de son temps, il entretenait une volumineuse correspondance avec ses collègues, et c’est souvent dans ses lettres que l’on trouve la première formulation des problèmes auxquels il s’est attaqué et des solutions qu’il leur a trouvées (2). La plupart de ces documents sont rédigés en latin, en français ou allemand et parfois en russe, toutes langues qu’Euler maîtrisait, tout comme d’ailleurs l’anglais. À cela s’ajoutent 12 carnets de notes totalisant 4 000 pages. Il est resté actif jusqu’à la fin de sa vie – le jour de sa mort il s’employait à calculer l’orbite de la planète Uranus, qui venait d’être découverte par Herschel, et l’altitude à laquelle pouvaient monter des ballons à air chaud comme celui des Montgolfier. Mais la lecture des carnets les plus anciens montre que son génie, à l’instar de celui de la plupart des mathématiciens, a été précoce : « Une grande part de ce qu’il a réalisé au cours de sa longue vie, fait remarquer un de ses biographes, William Dunham, est sorti des projets qu’il esquissait dans ses années d’adolescence ». La commémoration, en 2007, du tricentenaire de la naissance d’Euler a donné lieu à de nombreuses publications. En 2015, l’historien des mathématiques américain Ronald Calinger livrait une volumineuse biographie du mathématicien, de loin la plus complète et détaillée à ce jour. Leonhard Euler naquit à Bâle en 1707. Son père était ministre de l’Église réformée, tout comme son grand-père maternel. Toute sa vie, il a conservé la nationalité suisse, un fort accent suisse allemand et la foi religieuse fervente de sa famille. Son destin a largement été déterminé par l’amitié entre son père et le mathématicien Johann (Jean) Bernoulli, membre de la dynastie des Bernoulli, qui est aux mathématiques ce que la famille Bach est à la musique. Le père d’Euler le destinait à la carrière ecclésiastique et c’est dans cet esprit qu’il l’avait inscrit à l’université de Bâle. Il eut toutefois l’occasion d’y suivre les cours de Johann Bernoulli, qui décela rapidement son génie. Euler se lia d’amitié avec ses fils Johann, Nicolas et Daniel, plus particulièrement ce dernier. Un de ses premiers travaux est un mémoire présenté dans le cadre d’un concours lancé par l’Académie des sciences de Paris sur la question de l’emplacement optimal d’un mât de navire, qui inaugurait une longue série de travaux sur l’architecture navale. Euler, qui n’avait jamais vu d’autres bateaux que ceux naviguant sur le Rhin, obtint le 2e prix. Recruté par l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, qui faisait largement appel à des savants étrangers, Daniel Bernoulli s’employa à l’y faire entrer. Le jour même de son arrivée, l’impératrice Catherine Ire, veuve de Pierre le Grand, décédait. Avec la régence s’ouvrit une période d’incertitudes à laquelle l’accession au trône d’Anne mit heureusement fin. À l’instar de celles de Paris et de Berlin ou de la Royal Society de Londres, l’Académie des sciences russe se voulait à la fois un lieu de production du savoir et un instrument au service des grands desseins du souverain. Comme il le fit plus tard à Berlin, Euler, qui avait rapidement appris le russe, s’y livra donc, en lien avec ses investigations mathématiques, à des recherches dans des domaines tels que l’astronomie, les techniques de navigation et de construction navale, l’ingénierie des matériaux, l’hydraulique, la balistique, l’armement, la géographie ou la cartographie. En 1734, il épousa Katharina Gsell, la fille d’un peintre de cour d’origine bâloise qui avait été engagé par Pierre le Grand. Elle lui donna treize enfants, dont cinq atteignirent l’âge adulte et trois seulement lui survécurent. Au bout de quatorze ans, le retour de l’instabilité politique à la mort de l’impératrice Anne le détermina à accepter l’offre du roi de Prusse Frédéric II de rejoindre l’Académie des sciences de Berlin. Il y resta vingt-cinq ans. Frédéric II n’avait aucune considération pour les mathématiques et aimait s’entourer de philosophes français et de brillants libres penseurs comme Voltaire. Conscient qu’il détenait en la personne d’Euler le joyau de son académie, il le traitait cependant avec dédain et cruauté – en référence à son œil blessé, il l’appelait son « cyclope de géomètre » – parce qu’il le trouvait ennuyeux, trop sérieux et trop pieux. De fait, conformément à l’habi­tude protestante, Euler lisait chaque soir quelques pages de la Bible à sa famille. Il n’aimait guère la vie de cour et, lorsqu’il était invité au théâtre, il emportait avec lui son carnet de notes. Son expérience de la Russie l’avait rendu peu enclin à s’exprimer en public. À l’impératrice douairière qui lui demandait les raisons de son silence en compagnie, il répondit : « Madame, c’est parce que je viens d’un pays où, quand on parle, on est pendu. » Au cours de ses années berlinoises, il s’est trouvé impliqué dans une des plus célèbres querelles scientifiques du XVIIIe siècle. Ronald Calinger y consacre de nombreuses pages, relatant en détail ses multiples épisodes et rebondissements. La querelle portait sur la pater­nité de la découverte du principe de moindre action, formulé par le Français Pierre Louis Moreau de Maupertuis, président de l’Académie de Berlin, dans les termes suivants : « Lorsqu’il arrive quelque changement dans la nature, la quantité d’action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu’il soit possible. » Par ses calculs sur les minima et les maxima, Euler avait contribué à l’élaboration de ce principe, dont il présentait toutefois généreusement Maupertuis comme l’inventeur. Un mathématicien associé de l’Académie nommé König prétendit que l’idée avait été volée par Maupertuis à Leibniz, qui l’aurait énoncée dans une lettre. Au terme d’une série de violentes polémiques, Maupertuis et Euler obtinrent gain de cause. Mais parmi les critiques les plus acharnés de Maupertuis figurait Voltaire. Contre la volonté de Frédéric II, il publia un écrit satirique où il raillait le président de l’Académie et qui eut beaucoup de succès. Lorsqu’il fallut songer à remplacer Maupertuis dont la santé se détériorait, c’est au Français d’Alembert que le souverain offrit (sans succès) la présidence de l’Académie, plutôt qu’à Euler, qui exerçait de facto les responsabilités liées à cette fonction. Mais ce dernier avait conservé d’excellentes relations avec l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, pour laquelle il avait continué à travailler. Lorsque, au cours de la guerre de Sept Ans opposant la Russie et la Prusse, sa propriété de Charlottenburg fut dévastée par les troupes cosaques, le général à l’origine de l’opération le fit généreusement indemniser. Il fut d’ailleurs remboursé une ­seconde fois par l’impératrice Catherine II, montée sur le trône en 1762, sans doute dans l’intention de le faire revenir en Russie. Ce qu’il fit quatre ans plus tard. Si loyal qu’il fût envers la Prusse, l’antipathie de Frédéric II lui était en effet devenue très pénible (3). Et c’est avec un grand plaisir qu’il retrouva le pays où sa carrière avait commencé. Les dix-sept dernières années de sa vie, à Saint-Pétersbourg, furent marquées par une série de malheurs : la perte quasi totale de son œil valide ; l’incendie de sa maison (construite, en bois comme beaucoup de demeures de la ville), dont il réchappa grâce au courage d’un ami qui l’arracha aux flammes, et dans lesquelles disparut sa bibliothèque (mais heureusement pas ses manuscrits) ; enfin la mort de sa femme, en 1773. Résolu à ne pas ­dépendre de ses enfants pour sa vie pratique et le gestion quotidienne de sa maison, il ne tarda pas à se remarier. Trois ans plus tard, malgré les réticences de ses enfants préoccupés par leur héritage, il épousait la demi-sœur de sa femme décédée. Surnommé par ses contemporains « l’analyse incarnée », Euler, en consolidant et en intégrant les travaux de Newton et de Leibniz, a largement contribué à faire du calcul infinitésimal (calcul différentiel et intégral) ce qu’il est aujourd’hui. C’est à lui que l’on doit la première définition moderne de la fonction, jusque-là appréhendée en termes géométriques à partir de la courbe qui l’exprime : « Une fonction de quantité variable est une expression analytique composée, de quelque manière que ce soit, de cette même quantité et de nombres, ou de quantités constantes. » Il a contribué à la naissance de plusieurs sous-branches des mathématiques faisant appel à l’analyse : le calcul des variations, la théorie des équations différentielles, les fonctions de variables complexes, la théorie analytique des nombres. En théorie des nombres, beaucoup de ses apports concernent les séries infinies et les nombres premiers. Il a ­résolu le « petit théorème de Fermat » par trois méthodes différentes, ainsi que le problème connu sous le nom de « problème de Bâle » en établissant, à l’aide de plusieurs démonstrations de plus en plus solides, que la série des inverses des carrés des nombres entiers 1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5²… est égale à π²/6. Il a résolu par la négative le « problème des ponts de Königsberg » – existe-t-il un chemin permettant de passer une et une seule fois sur les sept ponts de la ville et de revenir à son point de départ ? Ce faisant, il a jeté les bases de la théorie des graphes. Fort de ses singulières capacités de calcul et de la facilité avec laquelle il jouait avec les formules, Euler pratiquait en mathématique un style inductif. Sur la base d’observations, il commençait par établir un résultat numérique et par avancer une hypothèse, avant de vérifier celle-ci puis de l’étayer. Comme celles de tous les mathématiciens de son époque, ses démonstrations manquent parfois de la rigueur qu’on exige aujourd’hui. Mais les résultats qu’il a obtenus et les méthodes qu’il a mises au point ont pu s’incorporer sans difficulté dans le savoir des siècles ultérieurs. Un trait qui distingue Euler de tous les autres mathématiciens est l’incomparable clarté de ses exposés qui fait de ses trois traités d’analyse, de calcul différentiel et d’algèbre, des modèles de didactisme. « Lorsqu’il publiait un mémoire sur un objet nouveau, relève Condorcet, il exposait avec simplicité la route qu’il avait parcourue, il en faisait observer les difficultés ou les détours ; et après avoir fait suivre scrupuleusement à ses lecteurs la marche de son esprit dans les premiers essais, il leur montrait ensuite comment il était parvenu à une route plus simple : on voit qu’il préférait l’instruction de ses disciples à la petite satisfaction de les étonner ». Ce don pour l’explication se manifeste dans les célèbres Lettres à une princesse d’Allemagne rédigées, en français, pour l’instruction de la princesse Frédérique Charlotte de Brandebourg-Schwedt et rassemblées dans un livre qui connut un grand succès dans toute l’Europe. Dans l’esprit des Entretiens sur la pluralité des mondes de Fontenelle qui ont été une de ses sources d’inspiration, Euler s’y livre à un brillant exercice de vulgarisation. En termes accessibles, il y explique la gravitation, les mouvements des astres, la mécanique des marées, les phénomènes optiques, acoustiques et ce que l’on savait à l’époque de l’électricité et du magnétisme. On trouve aussi dans l’ouvrage d’abondantes considérations ­philosophiques et théologiques. Convaincu que, en soutenant le primat de la raison même dans les matières ­religieuses, la ­philosophie de Leibniz et de son ­disciple Wolff conduisait à l’athéisme, Euler y critique vigoureusement la doctrine leibnizienne des monades. Combinant rigueur de raisonnement, appli­cation du calcul à l’étude des ­phénomènes ­physiques, talent ­pédagogique et réflexion d’inspiration ­religieuse, les Lettres à une princesse d’Allemagne sont très ­représentatives, sinon du génie d’Euler (qu’illustrent bien mieux ses écrits ­mathématiques) à tout le moins de sa vision du monde et de la vie. Un immense mérite d’Euler a été d’appliquer les puissants outils des ­mathématiques à l’étude des phénomènes physiques. Il l’a fait avec succès en astronomie, par exemple dans ses études sur la théorie lunaire, qui, en ­autorisant des prédictions assez précises sur les mouvements de la Lune dans le cadre du fameux « problème des trois corps (que l’on sait aujourd’hui impossible à résoudre analytiquement), ont permis d’améliorer les tables lunaires, principal moyen de calculer les longitudes en mer avant la mise au point du premier chronomètre de marine fiable. En mécanique des fluides, les équations d’Euler ont servi de base à celles de Navier-Stokes, qui prennent en compte, en plus, la viscosité. Mais les Lettres mettent aussi en lumière la nature et les limites de sa contribution aux sciences appliquées. « Euler, fait remarquer l’historien des mathématiques ­soviétique Adolf P. Youschkevitch, était en premier lieu un mathématicien. [Avant tout] il tentait d’exprimer les problèmes physiques en termes mathématiques ; et, lorsqu’il avait trouvé une idée mathématique pour le résoudre, il la développait systématiquement et la généralisait. » On lui a donc reproché de s’être intéressé à certains problèmes uniquement pour ce qu’ils offraient de possibilités de faire progresser la science du calcul, et, dit Condorcet, « d’avoir quelquefois prodigué son calcul à des hypothèses physiques, ou même des principes métaphysiques, dont il n’avait pas assez examiné la vraisemblance ou la solidité ». Les concepts physiques qu’il utilisait ne sont de fait plus toujours les nôtres. S’il a défendu et contribué à consolider par le calcul les lois de Newton, Euler, refusant comme ­Descartes l’idée d’action à distance, pour expliquer la pesanteur et la gravitation (comme d’ailleurs les phénomènes optiques et acoustiques), faisait appel à la notion d’éther, présente jusque dans l’électrodynamique classique de Maxwell mais abandonnée depuis Einstein. Défendant, contre Newton, une théorie non pas corpusculaire mais ondulatoire de la lumière, il a identifié le lien entre couleur et longueur d’onde et montré qu’il était possible de corriger les aberrations chromatiques des lentilles en employant des verres d’indices de ­réfraction différents. Mais, de son point de vue, la lumière était composée d’ondes longitudinales, à la manière des ondes acoustiques, non d’ondes ­transversales, comme elle l’est en réalité. Sa théorie de la musique, fondée sur l’idée que tous les rapports musicaux peuvent être construits en utilisant uniquement les nombres 2, 3 et 5 ­– « trop mathématique pour les musiciens et trop musicale pour les mathématiciens », reconnaît ­Nicolas Fuss –, a été rendue caduque par les ­travaux ultérieurs d’acousticiens et de physiologistes comme Helmholtz. Contrairement à Newton, méfiant jusqu’à la paranoïa à l’égard de ses collègues, ou Gauss, qui refusait souvent de communiquer ses trouvailles, Euler ne déclinait jamais une offre de collaboration et reconnaissait volontiers le mérite du travail des autres. À plusieurs reprises, il laissa même délibérément à d’autres l’honneur de découvertes qu’on aurait légitimement pu lui attribuer. Lorsque des querelles scientifiques l’opposèrent à d’autres savants, elles conservèrent toujours un ton très courtois. Ce fut le cas sur le sujet des cordes vibrantes avec d’Alembert, qui finit par nouer une amitié solide avec Euler. Euler n’était pas sans faiblesses. À Berlin comme à Saint-Pétersbourg, il négocia toujours férocement son salaire. Lors de son second séjour en Russie, il s’évertua à obtenir de Catherine II des positions avantageuses pour ses fils, qu’ils obtinrent, et des titres nobiliaires, qu’elle leur refusa. S’il était très attaché à ses petits-enfants, avec lesquels il jouait volontiers et qu’il emmenait au spectacle de marionnettes, on peut s’interroger sur ses sentiments envers sa première femme. Même à une époque où, ­observe ironiquement Calinger, l’absence de référence à l’épouse était le signe d’un mariage heureux, le peu de mentions de Katharina dans sa correspondance est assez étrange. Dans l’ensemble, l’image que nous avons de lui est cependant celle d’un homme paisible, bon, simple et équilibré, pas du tout celle d’un ­génie tourmenté ou d’une personnalité étrange au bord de la folie comme l’ont semble-t-il été certains grands mathématiciens des XIXe et XXe siècles. «Euler, disait Arago, calculait sans aucun effort apparent, comme les hommes respirent, comme les aigles se soutiennent dans les airs ». Il était doté d’une capacité de concentration hors du commun qui lui permettait de travailler sur les sujets les plus ardus « un enfant sur les genoux, un chat sur l’épaule », notait un témoin. Mais ce savant tranquille, dont Laplace dira fameusement « Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous », était un aventurier de l’esprit. Lorsque, foudroyé en pleine activité par une hémorragie cérébrale, il « cessa de calculer et de vivre » (Condorcet), on peut penser qu’il mourait sans angoisse, parce qu’il croyait à la survie de l’âme, mais aussi sans regret, parce qu’il avait eu une existence illuminée par une expérience unique. « Si l’on considère le champ intellectuel qui s’ouvrait devant Euler, écrira en 1939 le mathématicien suisse Andreas Speiser, et le succès continu de ses travaux, on se dit qu’il a dû être le plus heureux des mortels. »   — Michel André, philosophe de formation, a travaillé sur la politique de recherche et de culture scientifique au niveau international. Né et vivant en Belgique, il a publié en 2008 Le Cinquantième Parallèle. Petit essai sur les choses de l’esprit (L’Harmattan). Cet article a été écrit pour Books.

Notes

1. Dr Euler’s Fabulous Formula (Princeton University Press, 2006).

2. La réciproque est vraie : c’est dans une lettre à Euler que le mathématicien Goldbach énonce la fameuse conjecture, non résolue à ce jour, qui porte son nom : « Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers ».

3. Euler et Frédéric II restèrent dix ans sans s’écrire, avant de renouer des liens grâce à Catherine II. Euler élabora même un système de pensions de veuvage pour le royaume de Prusse.

Pour aller plus loin

♦ Leonhard Euler. Mathématicien, physicien et théoricien de la musique, sous la direction de X. Hascher et A. Papadopoulos (CNRS Éditions, 2015).

♦ Euler. Les mathématiques et la vie, d’André Warusfel (Vuibert, 2009).

♦ Leonhard Euler. Un génie des Lumières, Tangente, hors-série no 29, 2007.

♦ Lettres à une princesse d’Allemagne, de Leonhard Euler (Presses polytechniques et universitaires romandes, 2003).